Бином Ньютона

Теорема 12.5. (Бином Ньютона). Для натурального n справедлива формула

¨ Перемножим последовательно (a + b) n раз. Тогда получим сумму 2n слагаемых вида d1d2…dn, где di (i = 1, 2,…, n) равно либо a, либо b. Разобьем все слагаемые на (n + 1) группу B0, B1,…, Bn, отнеся к Bk все те произведения, в которых b встречается множителем k раз, а a встречается (n – k) раз. Число произведений в Bk равно, очевидно, (таким числом способов среди n множителей d1d2…dn можно выбрать k множителей, которые будут равны b), а каждое слагаемое из равно . Поэтому ¨

Числа называются биномиальными коэффициентами.

Поставим такой вопрос: сколькими способами можно разложить Бином Ньютона множество B, состоящее из n элементов, на сумму m подмножеств

B = A1È A2 È…ÈAm

так, чтобы | A1 | = r1, | A2 | = r2,..., | Am | = rm, где r1,r2,…, rm – заданные числа, ri ³ 0 и r1+r2+…+rm = n. При этом множества A1, A2,…, Am, не должны иметь общих элементов. Все описанные выше разбиения множества B на m подмножеств A1, A2,…, Am можно получить так: возьмем произвольное r1-элементное подмножество A1 множества B (это можно сделать способами); среди n – r1 оставшихся элементов возьмем r2-элементное подмножество A2 (это можно сделать способами) и т.д. Тогда общее число способов выбора множеств A1, A2,…, Am равно

Итак, мы доказали Бином Ньютона следующую теорему.

Теорема 12.6. Пусть r1, r2,…, rm – целые неотрицательные числа и r1+r2+…+rm = n. Число способов, которыми можно представить множество B из n элементов в виде суммы m множеств A1, A2,…, Am , число элементов в которых соответственно есть r1, r2,…, rm , равно

Числа называются полиномиальными коэффициентами.

Пример. Число различных перестановок, которые можно составить из n элементов, среди, которых имеется r1 элементов первого типа, r2 элементов второго типа, ..., rm элементов m-го типа, равно . Так, из букв слова «топот» можно составить 30 всевозможных различных
5-буквенных слов (в том числе и бессмысленных).

Обобщение биномиальной формулы дает следующая теорема.

Теорема 12.7.(Полиномиальная теорема Бином Ньютона)

¨ Перемножим последовательно (a1+a2+…+ak) n раз. Тогда получим kn слагаемых вида d1d2…dn, где каждый множитель di равен или a1, или a2, ..., или ak. Обозначим через B(r,…, rk) совокупность всех тех слагаемых, где a1 встречается множителем r1 раз, a2 – r2 раз, ..., ak – rk раз. Согласно теореме 12.6, число таких слагаемых равно . Отсюда сразу следует утверждение теоремы. ¨

Пример. Какой коэффициент стоит при x2y3z8 в разложении (x + y + z)13? Для применения полиномиальной теоремы положим rx = 2, ry = 3, и rz = 8. Тогда искомый коэффициент равен




documentapudxvt.html
documentapuefgb.html
documentapuemqj.html
documentapueuar.html
documentapufbkz.html
Документ Бином Ньютона